統計検定２級の試験対策について

確率分布	説明	離散/連続	確率（密度）関数	平均	分散
ベルヌーイ分布 $Ber(p)$	成功する確率が $p$ である試行を行った時に成功するかしないか	離散	$p$	$p$	$p(1-p)$
二項分布 $Bin(n,p)$	成功する確率が $p$ である試行を $n$ 回行った時の成功の数の分布	離散	$_nC_xp^x(1-p)^{n-x}$	$np$	$np(1-p)$
幾何分布 $Geo(p)$	成功する確率が $p$ である試行を続けて $x$ 回目で初めて成功する時の $x$ の分布	離散	$p(1-p)^{x-1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
ポアソン $Po({\lambda})$	単位時間あたりに平均 $\lambda$ 回起こる現象が、単位時間中に起きる回数の分布	離散	$e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$	$\lambda$	$\lambda$
一様分布 $U(a, b)$	変数の幅を固定した場合にどこでも確率が一定となる分布	離散・連続	$\frac{1}{b-a}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $Exp({\lambda})$	単位時間当たりの生起回数が期待値 $\lambda$ のポアソン分布に従うような事象が初めて生起するまでの待ち時間 $t$ の分布	連続	$\lambda{e}^{-\lambda{t}}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$	期待値 $\mu$ 付近に集積するような連続値変数の分布	連続	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$

確率分布の範囲に関しては、実際に問題文から、従う分布は何で、確率関数が何かまで分かっていないと手がつけられないような問題であったり、または後述する区間推定や仮説検定の範囲の中で、知っている前提として出題されることが多いように思いますので、少なくとも上記の確率分布においては、しっかり理解をしておくと良いと思います。

よく出題される区間推定・仮説検定

統計学を初めて学ぶ人はここで躓く人が多いと聞きます。

基本的にこの辺りの手法のモチベーションは、少ないサンプルデータから、どうにかして母集団の性質を知りたいということになります。

区間推定も仮説検定もやることは同じであり、

前提や仮説の上で、（検定）統計量が従う確率分布の確率分布表と、問題で与えられた有意確率（1%や5%など）から、統計量の値がとりうる範囲を求める
前提や仮説の上で、（検定）統計量の値を求める
上記の２つを比較する

この時の範囲が、区間推定の場合は信頼区間、仮説検定の場合は棄却域と呼ばれている違いがあるというだけです。

区間推定では、99%や95%の確率で母集団の真の統計量はこの範囲（信頼区間）に入っているだろうとみなすことを意味し、仮説検定では、帰無仮説を棄却したい（仮説を否定して母集団の性質を知りたい）という目的があり、帰無仮説が正しい時に99%や95%の確率でとりうる確率変数の値の範囲から外れてほしい（1%や5%という滅多に起こらない値をとっているから仮説が間違っているとみなす）という違いを表しています。

また、ここでいう確率分布は、 $t$ 分布やカイ二乗分布、 $F$ 分布などを表します。

これらの分布もいきなり出てきた上に抽象的で躓きやすいですが、これらは、上記で紹介したような、世の中の事柄を表すための確率分布ではなく、こういった区間推定や仮説検定などの時に使うための確率分布です。

例えば、 $t$ 分布が生まれた経緯には、

$z$ 検定で平均の検定をしようとしたけど、母分散が未知であった
母分散の推定値を代用して検定統計量を作成した
それは当然、標準正規分布に従わない（かなり似ているが厳密には違った）ので、どういう分布なのか、確率密度関数を明らかにした
それが $t$ 分布と呼ばれるようになった

といった流れがあったりします。

だから、こういった検定などに利用される分布に関しては、付表が記載されています。

こういった世の中の事柄を表すためのものではない確率分布というものは他にもたくさんあります。

例えば、話が逸れますが、ベータ分布やディリクレ分布などは確率の確率を表しており、ベイズ統計モデルなどに用いられます。

長々と記してしまいましたが、仮説検定・区間推定について、２級合格には、下記の手法を中心的に覚えておけば問題ないかと思います。

この辺りの範囲についても、確率分布の時の範囲と同じで、教科書には乗っているけど、あまり出題されないような、例えば、無相関検定などは無視しておいても構わないと思います。（業務では割と使ったりしますが...）

対象とする統計量	区間推定	仮説検定		利用する確率分布（付表）	備考
対象とする統計量	信頼区間	帰無仮説 $H_0$	検定統計量	利用する確率分布（付表）	備考
母分散が既知の場合の母平均	$[\overline{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$	$\mu=\mu_0$	$\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}$	標準正規分布	$\overline{x}$ : 標本平均
母分散が未知の場合の母平均	$[\overline{x}-t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}, \overline{x}+t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}]$	$\mu=\mu_0$	$\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{n}}}$	自由度 $n-1$ の $t$ 分布	$\hat{\sigma}^2$ : 不偏標本分散
母分散	$[\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}}]$	$\sigma^2=\sigma^2_0$	$\frac{1}{\sigma^2_0}\Sigma^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2$	自由度 $n-1$ の $\chi^2$ 分布
母比率	$[\hat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, \hat{p}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]$	$p=p_0$	$\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$	標準正規分布	$\hat{p}$ : 標本比率
母分散が既知の場合の対応のない母平均の差	$[\overline{x_1}-\overline{x_2}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}, \overline{x_1}-\overline{x_2}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}]$	$\mu_1=\mu_2$	$\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$	標準正規分布
母分散が未知の場合の対応のない母平均の差（等分散）	$[\overline{x_1}-\overline{x_2}-t_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\hat{\sigma}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}, \overline{x_1}-\overline{x_2}+t_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\hat{\sigma}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}]$	$\mu_1=\mu_2$	$\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$	自由度 $n_1+n_2-2$ の $t$ 分布	$\hat{\sigma}^2=\frac{(n_1-1)\hat{\sigma_1}^2+(n_2-1)\hat{\sigma_2}^2}{n_1+n_2-2}$
母分散の比	$[F_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\hat{\sigma_1}^2}{\hat{\sigma_2}^2}, F_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\hat{\sigma_1}^2}{\hat{\sigma_2}^2}]$	$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1$	$\frac{\hat{\sigma_1}^2}{\hat{\sigma_2}^2}$	自由度 $(n_1-1, n_2-1)$ の $F$ 分布
母比率の差	$[\hat{p_1}-\hat{p_2}-z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1}+\frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}, \hat{p_1}-\hat{p_2}+z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1}+\frac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2}}]$	$p_1=p_2$	$\frac{\hat{p_1}-\hat{p_2}}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}$	標準正規分布	$\hat{p}=\frac{n_1\hat{p_1}+n_2\hat{p_2}}{n_1+n_2}$

２標本間の母平均の差では、色々なパターンにより微妙に変わるので、問題文を読んだときに、どれを使うべきかが適切に判断できるように注意して下さい。

対応がある場合は、対応しているサンプルデータごとの差分がまた正規分布に従うため、 $n_1+n_2>100$ の場合は1標本の時の標準正規分布による母平均の手法、 $n_1+n_2<100$ の場合は1標本の時の $t$ 分布による母平均の手法を使うことになります。

また、母分散が未知の場合の検定に関しては、 $n$ や $n_1+n_2$ が大きくなれば、 $t$ 分布は正規分布に近づくため、例えば、 $n>100$ や $n_1+n_2>100$ の場合は、母分散が未知であっても、母分散が既知の場合の分散に不偏標本分散を代入して、同様の検定を行うことができます。

母分散が未知の場合かつ非等分散である場合は、ウェルチの $t$ 検定と呼ばれるものが使えますが、これはあまり出題されない傾向にあるようですので、ひとまず合格に向けては覚えなくても大丈夫だと思います。

また、上記らのように一つの統計量のみに注目しているものではありませんが、以下の仮説検定もよく出題されますので、勉強しておくと良いと思います。

未知母数がない場合の適合度の検定
未知母数がある場合の適合度の検定
独立性の検定

いずれの検定も、用いる確率分布は $\chi^2$ 分布です。

適合度の検定は、与えられたサンプルデータが、どのような確率分布に従う（適合する）かを確かめる検定です。

その確率分布には、母数（パラメータ）が含まれることがあります。（ポアソン分布に従うか確かめる場合は $\lambda$ など）

未知母数が云々という話は、この母数が未知なのか既知なのかによって、 $\chi^2$ 分布の自由度が変わるということです。

また、この辺りに対して必要な理解度についてですが、２級合格を目標とするならば、ひとまずはやり方を覚えておくだけ十分かと思います。

仮説検定や区間推定に関しては、踏み込んだ話そこまで求められていないように思います。

踏み込んだ話というのは、いわゆる、検定統計量がどのような理屈で導かれているのかといったところだったりです。

そこまでよりも、まずは、問題の題意からどの手法を使えば良いのかを選択でき、得られた結果の解釈を正しくできれば問題ありません。

題意から検定統計量を見極める
それが棄却域に含まれている（信頼区間に含まれていない）ならば、母集団は帰無仮説の性質を持っていないだろうとみなす
逆に含まれていない（信頼区間に含まれている）ならば、与えられたサンプルデータでは、母集団が帰無仮説の性質を持つことが十分にありえる（帰無仮説の性質を持っていないとは言い切れない）とみなす

といった感じに作業的に覚えておくと良いでしょう。

また、解答はマーク式ですので、検定統計量の値を求めるだけで選択肢が半分に減ったりなどしますので、計算はしっかりとできるようにしておくと良いと思います。

以上までを危なげなく出来るようになってきてから、どういった仕組みで検定統計量が導かれたのかなどを勉強してみても良いかと思います。

この辺りの話は、やり方に則って行うだけだと気持ち悪いと思うかもしれませんが、モチベーションを理解した上で、どういったカラクリでそのモチベーションを解決しようとしているのかが分かると、とても腑に落ちると思います。